제임스 스튜어트, 미분적분학 제 8판을 참고하여 작성한 글이다.

01. 접선 문제

접선문제는 미분학(differential calculus)의 대표적인 문제로 적분학(integral calculus)이 발견되고 약 2000년 이후에 발견되었다. 미분학을 발전시킨 대표적 수학자를 예시로 들어보면 페르마(Fermat, 1601~1665)와 뉴턴(Newton, 1642~1727) 그리고 라이프니츠(Leibniz, 1646~1716)가 있다.

접선이란 단어는 '접촉(tangens)' 이라는 라틴어에서 유래되었다. 그 의미적으로는 '곡선과 접하는 직선' 이다. 따라서 접선은 곡선과 같은 방향을 갖는다. 접선의 방향에 대하여서는, 필자는 이후에 나오겠지만, 함수의 극한이 좌극한과 우극한으로 나뉘는 것과 비슷한 느낌이라고 생각한다. 아무튼 접선문제를 풀기 위해서 어떠한 논의를 거쳐야 하는지 알아보자.

"어떠한 곡선에서 그 곡선의 한 점이 주어질 때 접선의 방정식을 구하라."

주어진 요소들은 곡선의 방정식과 곡선 위의 한 점이다. 만일 점이 2개가 주어졌다면 문제가 훨씬 편했을 수도 있겠지만, 주어진 점은 1개이다. 따라서 위의 문제를 풀기 위해서는 곡선 위의 또다른 한 점 P를 잡고, 주어진 점과의 할선의 기울기 m을 구한 뒤 그 근삿값을 구하는 방법을 사용한다. 이 과정에서 접선문제는 극한의 개념을 갖는다.

02. 속도 문제

속도문제 또한 마찬가지다. 평소 우리가 주로 사용하는 교통수단을 생각하더라도 속도는 매 순간순간마다 일정하지 않고 변한다. 이 과정에서 매 순간마다 변하는 '순간적인 속도' 는 과연 어떻게 구할 수 있을까? 대표적인 예시로 자유낙하 물체에 대하여 생각해보자.

"지면으로 자유낙하하는 물체는 중력가속도 g 만큼의 가속도를 받는다."

따라서, 등가속도-운동 공식에 의하여 물체의 위치값은 아래와 같다.

$x_{f} = x_{i} + v_{i}t + \frac{1}{2}gt^{2}$

처음위치와 처음 속력이 0 이므로 주어진 식은 아래와 같이 변형된다.

$x_{f} = \frac{1}{2}gt^{2}$

즉, 시간 t 에 대한 나중위치 값이 위의 식과 같으므로, 주어진 문제를 해결하기 위해서는 평균속도의 극한값을 구할 필요가 있다. 주어진 위치에 대한 식은 f(x) = 4.9t² 이고, 평균속도는 (이동거리/걸린시간) 이므로 시간구간 [a, a + h] 에서의 기울기 m 값을 구하면 된다.

$m = \frac{4.9(a+h)^{2}-4.9a^{2}}{(a+h)-a}$

이때, 기울기 m 값의 요소들 중에서 h 값은 0으로 수렴하므로 역시 이 과정에서 속도문제는 극한의 개념을 갖는다.